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<!DOCTYPE html>

<title>Approximation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Approximation</span></h1>

</header>

</div>

<p>Une <b>approximation</b> est une représentation imprécise ayant toutefois un lien étroit avec la <a href="Quantit%C3%A9" title="Quantité">quantité</a> ou l’objet qu’elle reflète : approximation d’un nombre (<a href="Approximation_de_%CF%80" title="Approximation de π">de <span class="texhtml">π</span></a> par 3,14, de la <a href="Vitesse_instantan%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Vitesse instantanée">vitesse instantanée</a> d’un véhicule par sa vitesse moyenne entre deux points), d’une <a href="Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques)">fonction mathématique</a>, d’une solution d’un <a href="Optimisation_(math%C3%A9matiques)" title="Optimisation (mathématiques)">problème d’optimisation</a>, d’une <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">forme géométrique</a>,  d’une <a href="Loi_physique" title="Loi physique">loi physique</a>,  etc.  Une valeur approximative est dite soit <i>par défaut</i>, soit <i>par excès</i>, selon qu’elle est inférieure ou supérieure à la valeur exacte, supposée connue. Par exemple, <span class="nowrap"><span class="texhtml">π</span> ≈ 3,14</span> par défaut.

</p><p>Lorsqu’une partie de l’information nécessaire fait défaut, une approximation peut se substituer à une représentation exacte. Cependant, même si cette dernière est connue, une approximation est parfois préférable par le fait qu’elle simplifie l’analyse sans générer de trop grandes erreurs. Par exemple, les <a href="Physicien" title="Physicien">physiciens</a> rapprochent souvent la forme de la <a href="Terre" title="Terre">Terre</a> à celle d’une <a href="Sph%C3%A8re" title="Sphère">sphère</a>, même si des représentations plus précises sont possibles : plusieurs phénomènes physiques (telle la <a href="Pesanteur" title="Pesanteur">pesanteur</a>) sont en effet plus faciles à étudier en supposant une sphère à la place d’une forme plus complexe.

</p><p>Le choix d’un degré d’approximation dépend de l’information disponible, du niveau d’exactitude souhaité, de la sensibilité des résultats aux données, des gains de temps et d’effort qui en découlent.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="En_sciences">En sciences</h2></div>

<p>La <a href="M%C3%A9thode_scientifique" title="Méthode scientifique">méthode scientifique</a> procède par des interactions incessantes entre les <a href="Mesure_physique" title="Mesure physique">mesures</a> empiriques et les prédictions de la théorie (les lois scientifiques) : les écarts constatés mettent en lumière ses limites et tracent les voies d’un perfectionnement.

</p><p>En <a href="Philosophie_des_sciences" title="Philosophie des sciences">philosophie des sciences</a>, il est souvent admis que les mesures restent des approximations imparfaites des grandeurs mesurées.

</p><p>En <a href="Histoire_des_sciences" title="Histoire des sciences">histoire des sciences</a>, il apparaît que les lois scientifiques admises à une période de l’histoire s’avèrent de simples approximations d’un nouveau système de lois plus générales.

</p><p>La validation d’un nouveau système de lois nécessite une concordance entre ses résultats et ceux des anciennes lois, ceci dans le champ commun d’application et d’<a href="M%C3%A9thode_exp%C3%A9rimentale" title="Méthode expérimentale">expérimentation</a>. C’est le <a href="Principe_de_correspondance" title="Principe de correspondance">principe de correspondance</a> entre la <a href="Physique_classique" title="Physique classique">physique classique</a> et la <a href="Physique_quantique" title="Physique quantique">physique quantique</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="En_mathématiques"><span id="En_math.C3.A9matiques"></span>En mathématiques</h2></div>

<p>En mathématiques, le terme « approximation » se réfère :

</p>

<ul><li>aux nombres : les approximations numériques résultent parfois de l’emploi d’un nombre restreint de <a href="Chiffre_significatif" title="Chiffre significatif">chiffres significatifs</a> dans la <a href="D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal" title="Développement décimal">représentation décimale</a> d’un nombre. L’<a href="Approximation_diophantienne" title="Approximation diophantienne">approximation diophantienne</a> traite de l’approximation des <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> par les <a href="Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombres rationnels</a>. Le symbole <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \approx }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \approx }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.125ex; margin-bottom: -0.297ex; width:1.808ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \approx }" loading="lazy"></span> (U+2248 ; localement remplacé par <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \simeq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \simeq }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65b9738551241417d16d9843525ed52410af4dc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.081ex; margin-bottom: -0.253ex; width:1.808ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \simeq }" loading="lazy"></span> U+2243<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>) signifie « est presque égal à », et permet de donner une <a href="Valeur_approch%C3%A9e" title="Valeur approchée">valeur approchée</a> d’un nombre. La largeur limitée des registres du <a href="Processeur" title="Processeur">processeur</a> d’un <a href="Ordinateur" title="Ordinateur">ordinateur</a> ne permet de représenter exactement qu’un nombre limité de nombres réels : pour les autres, ce sont des approximations avec une certaine <a href="Pr%C3%A9cision_arithm%C3%A9tique" title="Précision arithmétique">précision</a> ;</li>

<li>aux fonctions : la <a href="Th%C3%A9orie_de_l'approximation" title="Théorie de l'approximation">théorie de l'approximation</a> est une branche des mathématiques, représentant une partie importante de l’<a href="Analyse_fonctionnelle_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse fonctionnelle (mathématiques)">analyse fonctionnelle</a>. Les <a href="%C3%89quivalent" title="Équivalent">équivalents</a> traitent de l’approximation d’une fonction quand un paramètre tend vers une valeur donnée. ;</li>

<li>aux <a href="Int%C3%A9grale_d%C3%A9finie" class="mw-redirect" title="Intégrale définie">intégrales définies</a> : les méthodes numériques pour l’<a href="Calcul_num%C3%A9rique_d'une_int%C3%A9grale" title="Calcul numérique d'une intégrale">approximation d’une intégrale</a> donnent souvent des résultats approchés, même s’il est possible de limiter les erreurs à une valeur prédéfinie ;</li>

<li>aux solutions d’équations ou de <a href="Optimisation_(math%C3%A9matiques)" title="Optimisation (mathématiques)">problèmes d'optimisation</a> : de nombreuses <a href="Algorithme_de_recherche_d'un_z%C3%A9ro_d'une_fonction" title="Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction">méthodes</a> existent pour approcher numériquement la solution d’une équation. Citons entre autres la <a href="M%C3%A9thode_de_Newton" title="Méthode de Newton">méthode de Newton</a> qui utilise les dérivées successives pour approcher les solutions d’une fonction ;</li>

<li>aux <a href="Mod%C3%A8le_math%C3%A9matique" title="Modèle mathématique">modèles</a> : afin de réduire la complexité des relations décrivant un modèle ou pour faciliter sa résolution numérique, une approche fréquente consiste à simplifier les équations (par exemple en supprimant certains termes dont l’importance est jugée secondaire) ou à reformuler le problème sous des hypothèses moins générales :

<ul><li>si la finalité est la découverte d’un algorithme de résolution, il s’agit d’une étape dans un processus de recherche,</li>

<li>si la finalité est de se faciliter la tâche, une grande vigilance s’impose afin de s’assurer que les simplifications ne dénaturent pas le modèle d’origine. Un exemple simple illustrant ce propos est fourni par le <a href="Probl%C3%A8me_du_vendeur_de_journaux" title="Problème du vendeur de journaux">problème du vendeur de journaux</a> : le remplacement d’une <a href="Variable_al%C3%A9atoire" title="Variable aléatoire">variable aléatoire</a> par un scalaire (égal à sa <a href="Esp%C3%A9rance_math%C3%A9matique" title="Espérance mathématique">valeur espérée</a>) peut très significativement dégrader les résultats.</li></ul></li></ul>

<p>L’<a href="Analyse_num%C3%A9rique" title="Analyse numérique">analyse numérique</a> est la branche des mathématiques qui, entre autres, étudie qualitativement et quantitativement la nature des approximations issues de nombreuses méthodes, en particulier la <a href="M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finis" title="Méthode des éléments finis">méthode des éléments finis</a> et la <a href="M%C3%A9thode_des_diff%C3%A9rences_finies" title="Méthode des différences finies">méthode des différences finies</a> permettant de calculer les solutions d’<a href="%C3%89quations_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" class="mw-redirect" title="Équations aux dérivées partielles">équations aux dérivées partielles</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="En_algorithmique">En algorithmique</h2></div>

<p>Un <a href="Algorithme_d'approximation" title="Algorithme d'approximation">algorithme d'approximation</a> est un <a href="Algorithme" title="Algorithme">algorithme</a> qui donne une solution approchée au <a href="Probl%C3%A8me_algorithmique" title="Problème algorithmique">problème posé</a>, avec une garantie sur la qualité de la solution.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Note_et_références"><span id="Note_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Note et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Le symbole <span style="line-height:1;"><span class="nowrap">U+2248</span> <span style="font-size:125%"><span style="font-family:Corbel,'Traditional Arabic','Segoe UI',Tahoma,Verdana,Arial,'Ifao N Copte',Aharoni,'Levenim MT',David,Andalus,'Microsoft Uighur','Simplified Arabic',Sylfaen,'Estrangelo Edessa','Mv Boli','Mongolian Baiti','Microsoft Yi Baiti',Nyala,'Ethiopia Jiret','Tifinagh-Ircam Unicode','Ebrima','Hapax Berbère',Gadugi,'Plantagenet Cherokee',Euphemia, 'Aboriginal Sans',AfSans,AfPaiNutaaq,Pigiarniq,'Nimala UI',Utsaah,Kokila,Mangal,Chandas,Vrinda,'Shonar Bangla',Rupali,SolaimanLipi,Raavi,Shruti,Tunga,Kartika,Kalinga,'Iskoola Pota',Latha,Vijaya,Vani,Gautami,Leelawadee,'Khmer UI',DaunPenh,MoolBoran, 'CDT Khmer','Lao UI',DokChampa,'Saysettha OT',LontaraOT,'Microsoft Tai Le','Microsoft New Tai Lue','Dai Banna SIL Light','Dai Banna SIL Book','Microsoft PhagsPa','Microsoft Himalaya','Tibetan Machine Uni',Meiryo,'Meiryo UI',Gulim,'Malgun Gothic','Microsoft JhengHei','Microsoft YaHei','Microsoft YaHei UI',MingLiU,SimSun,'MS PGothic',Padauk,Myanmar3,Parabaik,'Win Uni Innwa',Yunghkio,Thanlwin,'MyMyanmar Unicode','WinUni Innwa',Myanmar2,'Masterpiece Uni Sans','BPG Classic Medium','DejaVu Sans','MPH 2B Damase','Aramaic Imperial Yeb','Hebrew Paleo Siloam','Segoe UI Symbol','Arial Unicode MS',Code2000,Code2001,FreeSans,'Lucida Sans Console',sans-serif">≈</span></span> <span class="petites_capitales" style="font-variant: small-caps;">presque égal à</span> </span> est préconisé par la norme <a href="ISO_31" title="ISO 31">ISO 31</a>:11-1992 (révisée dans le même sens par la norme <a href="ISO/CEI_80000" title="ISO/CEI 80000">ISO/CEI 80000</a>-2:2009), car ≃ (U+2243) signifie « asymptotiquement égal à ». En pratique, la norme ISO n’est pas toujours appliquée, et les différents symboles sont interchangeables dans une certaine mesure, de sorte que des mathématiciens affirment que la notation n’est pas normalisée : <sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;">[<abbr class="abbr" title="référence">réf.</abbr> souhaitée]</sup>.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<ul><li><a href="Erreur_d'approximation" title="Erreur d'approximation">Erreur d'approximation</a></li>

<li><a href="Analyse_num%C3%A9rique" title="Analyse numérique">Analyse numérique</a></li>

<li><a href="Approximation_de_%CF%80" title="Approximation de π">Approximation de π</a></li>

<li><a href="Approximation_lin%C3%A9aire" class="mw-redirect" title="Approximation linéaire">Approximation linéaire</a></li>

<li>Approximation harmonique</li>

<li><a href="S%C3%A9rie_de_Taylor" title="Série de Taylor">Série de Taylor</a></li>

<li><a href="S%C3%A9rie_enti%C3%A8re" title="Série entière">Série entière</a></li>

<li><a href="Th%C3%A9orie_de_l'approximation" title="Théorie de l'approximation">Théorie de l'approximation</a></li>

<li><a href="M%C3%A9thode_de_Runge-Kutta" class="mw-redirect" title="Méthode de Runge-Kutta">Méthode de Runge-Kutta</a></li>

<li><a href="M%C3%A9thode_de_Newton" title="Méthode de Newton">Méthode de Newton</a></li>

<li><a href="Estimation_de_Fermi" title="Estimation de Fermi">Estimation de Fermi</a></li>

<li><span class="page_h" title="Ce lien renvoie vers une page d'homonymie"><a href="Estimation" class="mw-disambig" title="Estimation">Estimation</a></span><small> <span style="vertical-align:top"><span typeof="mw:File"><a href="Estimation" title="Estimation"></a></span></span></small></li></ul>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail des mathématiques</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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